Question

高等代数计算题:已经知道矩阵A= 1 2 -3 -1 4 -3 1 a 5 有一个二重特征根，求a的值并讨论A是否可以对角化

在可以对角化的条件下求A^k

Answer 1

解: |A-λE| =
1-λ 2 -3
-1 4-λ -3
1 a 5-λ

r2-r1
1-λ 2 -3
-2+λ 2-λ 0
1 a 5-λ

c2+c1
1-λ 3-λ -3
-2+λ 0 0
1 a+1 5-λ

= (2-λ)[(3-λ)(5-λ)+3(a+1)]
= (2-λ)[λ^2-8λ+3a+18]

由已知, A的特征方程有一个二重根, 下分两种情况:
(1) 2是A的特征方程的二重根
则 2^2-8*2+3a+18 = 0.
得 a = -2.
此时, |A-λE|= (2-λ)[λ^2-8λ+12] = (2-λ)^2(6-λ).
A 的特征值为 2,2,6.

A-2E =
-1 2 -3
-1 2 -3
1 2 3
r(A-2E) = 1. 故此时A可对角化.

(2) 2是A的特征方程的单根
则 λ^2-8λ+3a+18 是一个完全平方
其判别式 (-8)^2 - 4(3a+18) = 0
得 a = -2/3
λ^2-8λ+3a+18 = (λ-4)^2
此时 4 是A的二重特征值.
A-4E =
-3 2 -3
-1 1 -3
1 -2/3 1
r(A-4E)>=2. 故此时A不能对角化.

另: 在欧氏空间R^3中定义线性变换σ 那个题目还没处理