Question

已知｛an｝是首项为1，公差为1的等差数列 设数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an,求证bn*bn+2＜(bn+1)^2

速度哈。要具体过程。谢谢
bn*bn+2＜(bn+1)^2
注意: n，n+2和n+1是下标

Answer 1

an=n，则：b(n＋1)－bn=2^n，得：
b2－b1=2
b3－b2=2²
b4－b3=2³
…………
b(n)－b(n－1)=2^(n－1)
上述式子相加，得：
b(n)－b1=2＋2²＋2³＋…＋2^(n－1)=2^n－2
得：b(n)=2^n－1
b(n＋2)=2^(n＋2)－1
[b(n＋1)]²=2^(2n)－2^(n＋1)＋1
则：
[bnb(n＋1)]－[bn＋1]²=[2^n－1]×[2^(n＋2)－1]－[2^(2n)－2^(n＋1)＋1]=2^(n＋1)－2^n－2^(n＋2)=－3×[2^n]<0，即：
bnb(n＋1)<[b(n)＋1]²

Answer 2

an=1+(n-1)*1=n
∴b(n+1)=bn+2^n
∴b(n+1)－2^(n+1)=bn＋2^n－2^(n+1)=bn－2^n
而b1-2^1=1-2=-1
∴数列{bn－2^n}是以-1为首项、1为公比的等比数列
bn－2^n=-1*1^(n-1)=-1 ∴bn=-1+2^n
那么b(n+2)=-1+2^(n+2)，b(n+1)=-1+2^(n+1)
∴[b(n+1)]²=(-1+2^(n+1))²=1+2^(2n+2)-2^(n+2)
bn*b(n+2)=(-1+2^n)[-1+2^(n+2)]=1+2^(2n+1)-5×2^n
∴[b(n+1)]²- bn*b(n+2)=2^(2n+1)+2^n>0
∴bn*b(n+2)<[b(n+1)]²

Answer 3

an=1+(n-1)=n
bn+1=bn+2^n
bn+2=(bn+2^n)+2^(n+1)
bn×bn+2=bn²+bn×2^n+bn×2^(n+1)=bn²+3×bn×2^n
bn+1²=bn²+2×bn×2^n+2^(2n)
上式减下式得：bn×2^n-2^n×2^n=2^n（bn-2^n） （※）
bn=bn-1+2^（n-1）
bn-1=bn-2+2^（n-2）
………………
b2=b1+2
所有式相加得bn=b1+2+4+8+……+2^（n-2）+2^（n-1）=1-2[1-2^(n-1)]=-1+2^n＜2^n(n≥2)
当n=1时，b1=1＜2^1。
所以bn＜2^n
所以（※）式＜0
得证。
望采纳。。谢谢