Question

a为何值时非齐次方程有唯一解、无解、无穷多解 （aX1+X2+X3=1;X1+ax2+x3=a;x1+x2=ax3=a^2)

Answer 1

ax1+x2+x3=1
x1+ax2+x3=a
x1+x2+ax3=a^2，
得到方程组的增广矩阵为：
(a 1 1 1
1 a 1 a
1 1 a a^2)
对其进行初等行变换，得到
(a 1 1 1
1 a 1 a
1 1 a a^2) 第1行减去第3行乘a，第2行减去第3行

= (0 1-a 1-a^2 1-a^3
0 a-1 1-a a -a^2
1 1 a a^2) 第1行和第3行交换

=(1 1 a a^2
0 a-1 1-a a -a^2
0 1-a 1-a^2 1-a^3) 第3行加上第2行

=(1 1 a a^2
0 a-1 1-a a -a^2
0 0 2-a-a^2 1+a-a^2-a^3)

=(1 1 a a^2
0 a-1 1-a a(1-a)
0 0 (2+a)(1-a) (1+a)(1-a^2) )

若方程有唯一解，
则系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩r(A,b)=3，
则a-1≠0且2-a-a^2≠0，
故a≠1且a≠ -2

若方程无解，
则系数矩阵的秩r(A) < 增广矩阵的秩r(A,b)，
故(2+a)(1-a)=0且 (1+a)(1-a^2) ≠0，
所以 a= -2

若方程有无穷多解，
则系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩r(A,b) < 3，
故(2+a)(1-a)=0且 (1+a)(1-a^2) =0，
所以a =1

综上所述，
a≠1且a≠ -2时方程有唯一解，
a= -2时方程无解，
a= 1时方程有无穷多解