Question

已知数列{an}满足an=1/a(n-1)+1(n≥2),求{an}的通项公式.(希望用解答题方法做，不要一一递推，谢谢。）

Answer 1

嗯，像这种题都是求特征根法
首先an=1/a(n-1)+1=[a(n-1)+1]/a(n-1)
然后设x，则an-x=[(1-x)a(n-1)+1]/a(n-1)
现在假设an-x的系数和(1-x)a(n-1)+1的系数成比例
即1:(-x)=(1-x):1
可以解出x=(1±√5)/2（但为后面表述方便，仍用x表示(1±√5)/2）
则an-x=(-1/x)[a(n-1)-x]/a(n-1)
现在假设1/(an-x)=bn

则bn=-x²·b(n-1)-x
b(n-1)=-x²·b(n-2)-x
……
b2=-x²·b1-x

将下面几式分别乘以1，-x²，(-x²)²，……
即bn=-x²·b(n-1)-x
-x²·b(n-1)=(-x²)²·b(n-2)-x(-x²)
……
(-x²)^(n-2)·b2=(-x²)^(n-1)·b1-x(-x²)^(n-2)
相加得：bn=(-x²)^(n-1)·b1-x[1-(-x²)^(n-1)]/(1+x²)
再将bn=1/(an-x)和x=(1±√5)/2带入就能求出通项了，剩下的应该比较简单了，但是打起来很麻烦，我就没打了