Question

如图,等边三角形ABC中,M是BC边上任意一点,P是BC延长线上一点,CN平分角ACP，若角AMN=60度,求证AM=MN.

PS 四点共圆没学 题目里提示构造△MNC的全等三角形

Answer 1

连接AN。
因为∠AMN=60度，所以，∠AMB+∠CMN=120度；
因为∠ABC=60度，所以，∠BAM+∠AMB=120度；
所以，∠BAM=∠CMN。
因为∠ACP=120度，CN平分∠ACP，所以，∠ACN=60度，
所以，∠ACN=∠AMN，所以，A，M，C，N四点共圆，
所以，∠CMN=∠CAN。
又因为∠ABC=∠ACN=60度，AB=AC，
所以，三角形ABM全等三角形ACN（ASA）
所以，AM=AN，又因为∠AMN=60度，
所以，三角形AMN是等边三角形，所以，AM=MN

追问

我讨厌复制的

追答

为什么呀？你不是想要答案吗？难道你是想考我们？？？？？那图呢？能发过来吗？

追问

我没学过四点共圆，你答得我再别的地方看过了

追答

在AB上取点E，使AE＝MC。
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°＝∠AMN。
∵∠MAE＝180°－∠B－∠AMB＝180°－60°－∠AMN、
∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－60°－∠AMN，
∴∠MAE＝∠CMN。　［注：∠1＝∠MAE、∠2＝∠CMN］

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴AE＝BE＝BM＋MC，而AE＝MC，∴BE＝BM。
由BE＝BM、∠B=60°，得：△BEM是等边三角形，∴∠BEM＝60°，∴∠AEM＝120°。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACM＝60°，∴∠ACP＝120°，∴∠ACN＝∠ACP/2＝60°，
∴∠MCN＝∠ACM＋∠ACN＝60°＋60°＝120°。
由∠AEM＝120°、∠MCN＝120°，得：∠AEM＝∠MCN。
由AE＝MC、∠MAE＝∠CMN、∠AEM＝∠MCN，得：△AEM≌△MCN，∴AM＝MN
这回你该看懂了吧！！！！！！！！！！！！！！！