Question

矩阵的逆的转置等于矩阵的转置的逆吗？

Answer 1

一、首先，只有方形矩阵才有矩阵的逆，而非方形的叫做“矩阵的伪逆”，此处只论方阵。其次只有当方阵的行列式不为0时，其逆矩阵才存在，故这里只讨论其行列式不为0的方阵（只要有任意一行或一列全文0的方阵，其行列式值为0，但不仅限于此）

答案为：若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时，矩阵的逆的转置 等于 矩阵的转置的逆。

二、证明如下：①先算矩阵的逆的转置

②算此矩阵的转置的逆。

故矩阵A的逆的转置 等于 矩阵A的转置的逆。

三、即便是扩展到复数方阵也成立，复数方阵的逆不是简单的翻转，还要求对应元素的共轭复数。以下用MATLAB对3阶方阵该命题的证明：

显然对于任意3阶方阵此命题成立！N阶不会操作，这个用于加强我的证明。

注意我说的“此命题”，是“一、”中的“答案”，不是提问。因为提问没有考虑矩阵的逆不存在的情况。