Question

高中数学问题——函数方程

8的x次幂 —4的x次幂 乘以m +（m平方-3）2的x次幂=0
（1）若方程无实根，求M的取值范围
（2）若方程有唯一实根谋求M的的取值范围，
答案说什么只有非负正根；有唯一实根与有两相同正根或有一正一负根等价，什么意思》

Answer 1

（1）解： 原方程即 8^x-4^x*m+(m^2-3)2^x=0
(2^（3x)-2^（2x）*m+(m^2-3)2^x=0
令y=2^x>0有
y[y^2-my+(m^2-3)]=0
y^2-my+(m^2-3)=0...................(*)
方程.(*)无实根有两种情形 △<0或有实根但无正根
由 m^2-4(m^2-3)<0 得m>2或m<-2
由 m^2-4(m^2-3)≥0且f(0)≥0且对称轴m/2≤0 得 -2≤m≤-√3
综上M的取值范围为m>2或m≤-√3

(2)若方程有唯一实根，即方程.(*)有唯一实根
此时即方程.(*)只有一个正根或两个相等的正根，所以
f(0)<0或m^2-4(m^2-3)=0对称轴m/2>0
得 -√3<m<√3或m=2
答案说方程.(*)只有非负正根,这一说是不正确的，应说其只有正根，因为y>0
方程.(*)有唯一实根与有两相同正根或有一正一负根等价，因为方程.(*)有根只能是正根
所以有唯一实根即为有两相同正根或有一正一负根，这个画一下抛物线图由零点存在性定理可得。

Answer 2

解题思路：
原式如 8^x-4^x*m+(m^2-3)2^x=0
化简规一
[(2^x)]^3-[(2^x)]^2m+(m^2-3)2^x=0
令y=2^x>0，..................................................(a)
有
y[y^2-my+(m^2-3)]=0
y^2-my+(m^2-3)=0...................(b)
(1)若方程无实根，即
△<0
m^2-4(m^2-3)<0
解得m>2或m<-2
(2)若方程有唯一实根，即
△>=0且y1=y2,
又根据(a)知
y1+y2=m>0.........................(c)
y1*y2=m^2-3>0.....................(d)
当△>=0时， m^2-4(m^2-3)>=0...................(e)

解(c)、(d)、(e)分别有
m>0；
m>√3或m<-√3；
-2=<m=<2；
综合解得： √3< m=<2

另外，非负正根，(b)方程的解为y，由(a)知y是非负的，故有“非负正根”之说；
唯一实根，(b)方程的解为y1=y2；
两相同正根，(b)方程的解为y1=y2，由(a)知y是非负的，故y1>0且y2>0；
一正一负根等价，意思应该是y1=-y2，但此题没涉及。