Question

如图,O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a,将三角形BOC绕点C按顺时针方向旋转60度，得到三角形ADC

【1】试说明三角形BOCca全等于三角形ADC
【2】当角a=150度时，三角形AOD是（ ）三角形
【3】用含a的代数式分别表示（或直接写出）角AOD，角ADO以及角OAD的度数
角AOD的度数为
角ADO的度数为
角OAD的度数为
当三角形AOD为等腰三角形时，直接写出a的值

Answer 1

（1）等边三角形ABC可得：
∠ACB=60°,于是，将三角形BOC绕点C按顺时针方向旋转60度，则B点刚好与A点重合，O点则转到D点。
由此可知△ADC就是旋转后的△BOC，故△ADC≌△BOC。
如果要证明的话，可由BC=AC,BO=AD, OC=CD来证明。
（2）当角a=150度时，由△ADC≌△BOC，
有∠BCO=∠ACD，OC=DC；∠ADC=∠BOC=a（式1）
由∠BCO=∠ACD，∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=60°（式2）
由OC=DC，∠COD=∠CDO=(180°-∠ACB)/2=(180°-60°)/2=60°（式3）
由（式1）、（式3）可知：∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°=150°-60°=90°（式4）
所以△ADO为直角△，同时可求∠AOD=40°，∠OAD=50°。
（3）用含a的代数式分别表示（或直接写出）角AOD，角ADO以及角OAD的度数：
由（式4）：∠ADO=a-60°（式5）。
由∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-110°-a=250°-a，
∠AOD=∠AOC-∠DOC=250°-a-60°=190°-a（式6）.
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-a)-(a-60°)=180°-190°+a-a+60°=50°（式7）。
当三角形AOD为等腰三角形时，分两种情况：
①若∠OAD为顶角，则∠AOD=∠ADO=(180°-50°)/2=65°，于是：
由（式6）有190°-a＝65°，即a=125°
由（式5）有a-60°＝65°，即a=125°
②若∠OAD为底角，则∠AOD=50°且∠ADO=80°或∠ADO=50°且∠AOD=80°，于是：
190°-a＝50°，且a-60°＝80°，即a=140°
或
190°-a＝80°，且a-60°＝50°，即a=110°
因此：三角形AOD为等腰三角形时，a的值可能为：125°、140°、110°。

Answer 2

单位：度
【1】试说明三角形BOCca全等于三角形ADC
∠BCO=∠ACD,BC=AC,OC=DC所以全等
【2】当角a=150度时，三角形AOD是（ ）三角形
∠BCO+∠OCA=∠DCA+∠ACO=60=∠DCO
又OC=DC
则三角形DCO为等边三角形，得∠COD=60,∠ADC=150-60=90
直角三角形
【3】用含a的代数式分别表示（或直接写出）角AOD，角ADO以及角OAD的度数
三角形DCO为等边三角形，则
角AOD的度数为360-110-a-60=190-a
角ADO的度数为a-60
角OAD的度数为180-（190-a）-（a-60）=50（定值）
当三角形AOD为等腰三角形时，直接写出a的值
190-a=a-60--------》a=125