Question

求函数y=x^2+5/√x^2+4的最小值

Answer 1

令t=√x^2+4, 则t^2=x^2+4
y=(t^2+1)/t=t+1/t (t≥2)
先证明y=t+1/t 在【2，+∞）
对任意的2≤t1＜t2
y1-y2=(t1+1/t1)-(t2+1/t2)=(t1-t2)+(t2-t1)/t1*t2=(t1-t2)[(1-1/(t1t2)]=(t1-t2)[(t1t2-1)/t1t2]
因为2≤t1＜t2
所以t1-t2<0 t1t2-1>0
y1-y2<0
y1<y2
所以原函数单调增
y≥2+1/2=5/2
y(min)=5/2

Answer 2

y=
x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+
1x2+4
令x2+4=t，则t≥2
∴y=t+1t，而y=t+1t在[2，+∞）上单调递增函数
∴当t=2时，y取最小值52

Answer 3

解
可设t=√(x²+4).
易知，t≥2.且原来函数可化为：
y=(t²+1)/t=t+(1/t)
∴最小值=5/2