Question

x³-3xy²=5+根号7 y³-3yx²=5-根号7,求x²+y²？

Answer 1

让我们求解方程组:
x³ - 3xy² = 5 + √7 ......(1)
y³ - 3yx² = 5 - √7 ......(2)
我们可以将 (1) 式与 (2) 式相加和相减来消除其中的交叉项。
将 (1) 加上 (2)：
x³ + y³ - 3xy² - 3yx² = (5 + √7) + (5 - √7)
x³ + y³ - 3xy² - 3yx² = 10
将 (1) 减去 (2)：
x³ - y³ - 3xy² + 3yx² = (5 + √7) - (5 - √7)
x³ - y³ - 3xy² + 3yx² = 2√7
化简上述两个方程：
2x³ - 2y³ = 10 - 2√7 ......(3)
3xy² - 3yx² = -2√7 ......(4)
接下来，我们将方程 (3) 和方程 (4) 相加：
2x³ - 2y³ + 3xy² - 3yx² = 10 - 2√7 - 2√7
2x³ - 2y³ + 3xy² - 3yx² = 10 - 4√7
现在，我们可以观察到左侧是一个立方差公式：
(x - y)³ = x³ - 3yx² + 3xy² - y³
将这个立方差公式应用到等式中：
(x - y)³ = 10 - 4√7 ......(5)
因此，x - y = ∛(10 - 4√7)
然后，我们将方程 (3) 减去方程 (4)：
2(x³ - y³) = 10 - 2√7 - (-2√7)
2(x³ - y³) = 10
化简得到：
x³ - y³ = 5
现在，我们有了一个方程组：
x - y = ∛(10 - 4√7)
x³ - y³ = 5
通过解这个方程组，我们可以求解 x 和 y。
解这个方程组可能比较复杂，并且可能没有精确解。你可以使用数值方法，如牛顿法或二分法，来逼近解。
最后，根据 x 和 y 的值，我们可以计算 x² + y²。