Question

求微分方程满足所给初值条件的特解2ydy-(1+cosx)(1+y^2)dx=0,x=0时y=0

Answer 1

将微分方程改写为 dy/dx 的形式：
2y dy/dx = (1+cos x)(1+y^2)
将 y^2 和 cos x 都移到等式左侧并约分，得到：
2y dy/(1+y^2) = (1+cos x) dx
对两边同时进行不定积分，得到：
∫2y/(1+y^2) dy = ∫(1+cos x) dx + C
其中，C 为任意常数。对左侧进行积分，令 u = 1+y^2，du/dy = 2y，得到：
ln|1+y^2| = ln|1+y^2| + C1
其中，C1 也为任意常数。因此，原微分方程的一般解为：
ln|1+y^2| = ln|1+y^2| + C1
(x + sin x + C2)
根据初值条件 y(0) = 0，代入得到 C1 = 0，C2 = 0。因此，特解为：
ln|1+y^2| = sin x
1+y^2 = e^(sin x)
y^2 = e^(sin x) - 1
y = ± sqrt(e^(sin x) - 1)
由于 x = 0 时，y = 0，因此特解为：
y = sqrt(e^(sin x) - 1)

Answer 2