Question

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的长轴两端点分别为A1、A2,弦P1P2⊥A1A2,且A1P1,P2A2相交。

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的长轴两端点分别为A1、A2,弦P1P2⊥A1A2,且A1P1,P2A2相交于M，当P1P2平行移动时，求点M的轨迹方程。
求数学帝解答。

Answer 1

本题运用了解几中难度较大的的技巧方法。

追问

斜率相乘是什么意思？乘完以后消去x0,y0为什么就是焦点的轨迹呢？

追答

1，k1k2作积的目的是消去参数x0 y0
2消去x0,y0为什么就是焦点的轨迹呢？因为(x,y)源本属于交点M的横坐标与纵坐标。

Answer 2

【【注：用“参数法”.】】
解：
可设交点M(x, y).
易知，A1(-a, 0), A2(a, 0).
因两点P1， P2均在椭圆上，且P1P2⊥A1A2.
∴可设P1(acost, bsint), P2(acost, -bsint). t∈R.
由直线两点式方程求法，可得：
直线A1P1：(bsint)x-(acost+a)y+absint=0.
直线A2P2：(bsint)x+(a-acost)y-absint=0
解上面关于x, y的方程组，可得：
x=a/(cost), y=(bsint)/(cost)
消去参数t,可得轨迹方程：
（x²/a²)-(y²/b²)=1