Question

高二数学：函数f(x)=lnx+(a-x)/x,其中a为常数,且a>0。

函数f(x)=lnx+(a-x)/x,其中a为常数,且a>0。
（1）若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=1/2 x+1垂直，求a的值。
（2）若函数f(x)在区间【1，2】的最小值为1/2，求a 的值

第一题的答案是3吗？
求两题的答案和详解、谢谢

Answer 1

解析，（1）导数f′(x)=1/x-a/x²,由于y=f(x)在点（1，f(1)）的切线与直线y=x/2+1垂直，
那么f′(1)=-2，故，a=3
(2)先分析f(x)=lnx+a/x-1在[1,2]内的最小值，
由于f′(x)=1/x*(1-a/x),
那么当0<a＜1时，1-a/x>0，也就是f′(x)>0,故，f(x)为增函数，最小值为f(1)=a-1=1/2，a=3/2,不符合题意，舍去
当a=1时，f(x)=lnx+1/x-1,它的最小值，也是f(1)=-1≠1/2，因此a=1也不满足题意。
当a>1时，f′(x)=1/x*(1-a/x)当f′(x)=0时，x=a，也即是f(x)在【a,2】为增函数，因此最小值为f(a)=lna=1/2，也即是，a=√e
综上所述，a=√e

Answer 2

1、 f’(x) = (x-a)/x²
f(1)=1-a= - 2
∴a = 3

2、 令f’(x) = (x-a)/x² = 0， 得：x=a
∴f(x)在[a，﹢∞)上单调递增，f(x)在(0，a)上单调递减，
∴f(x)在x=a处取得极值，即最小值。
①0＜a＜1
此时[1，2]包含于[a，﹢∞)
∴f(x)在[1，2]上单调递增
∴最小值为：f(1)= ln1 + (a-1) = a-1 =1/2
∴a=3/2＞1，不满足
②a＞2
此时[1，2]包含于(0，a)
∴f(x)在[1，2]上单调递减
∴最小值为：f(2)= ln2 + (a-2)/2 =1/2
∴a=3 - ln4＜2，不满足
③1≤a≤2
最小值为f(a) = lna + (a-a)/a = lna = 1/2
∴a = √e，满足
综上，a=√e