Question

将函数f(x)=ln√(x+2)展开成x的幂级数,并写出它的收敛区间

Answer 1

f(x) = ln√(x+2) = 1/2 * ln(x+2)
令 g(x) = ln(x+2)， g(0) = ln 2；
[ln(x+2)] ' = 1 / (x+2)， g'(0) = 1/2；
[ln(x+2)] '' = -1 / (x+2)^2， g''(0) = -1 / 2^2；
[ln(x+2)] ''' = 2 / (x+2)^3， g''(0) = 2! / 2^3；
一般有：[ln(x+2)] ^(k) = (-1)^(k-1) * (k-1)! / (x+2)^k， g^(k)(0) = (-1)^(k-1) * (k-1)! / 2^k；
根据泰勒展开式有：
∴ ln(x+2) = ln 2 + x/2 - x^2 / (2^2 * 2) + x^3 / (3 * 2^3) + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / (n * 2^n) + ......
f(x) = ln√(x+2) = 1/2 * ln(x+2) =
ln 2 / 2 + x / 2^2 - x^2 / (2 * 2^3) + x^3 / (3 * 2^4) + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / (n * 2^(n+1)) + ......
收敛区间(-2, 2]. （注意：定义域要求 x + 2 > 0，x > -2）

Answer 2

追问

大哥...带根号的....

追答

你写的不太清楚啦，自己加上根号不就ok啦

追问

哦....