Question

f(x+y)=f(x)+f(y) f(1)=c 证明f(x)=cx 有奖

最好用高中能理解的方法解
“粉色ぉ回忆” 的回答只是一些点，不能代表全部，征求更好的！！！

Answer 1

方法一:
f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=f(x-1)+c
f(x)-f(x-1)=c
同理可得
f(x-1)-f(x-2)=c
...
f(2)-f(1)=c
f(1)=c
两边分别相加,得:
f(x)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-2)+...+f(2)-f(1)+f(1)=c+...+c
f(x)=cx

方法二:
f(x+x)=f(x)+f(x)
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+2f(1)=3f(1)
.......
f(x)=f(1)+f(x-1)=f(1)+(x-1)f(1)=xf(1)=xc
所以f(x)=cx

Answer 2

这些方法高中生全都可以看懂!
粉色ぉ回忆 - 总监 九级的证法更适合高中生.

Answer 3

证：因为f(x+y)=f(x)+f(y)
而：f(x)=f(x-1+1)
由已知，得：f(x-1+1)=f(x-1)+f(1)=f(x-1)+c
同理可得：f(x-1)=f(x-2)+c，即：f(x)=f(x-2)+2c
……
最后得到：f(x)=f(1)+(x-1)c=cx
即：f(x)=cx
证毕。

Answer 4

令y= 1，x取自然数n到1
则有
f(x+1) = f(x) + f(1)
=f(x) +C
所以
f(x) =f(x-1 + 1)
=f(x-1)+C
f(x-1)=f(x-2)+C
f(x-2)=f(x-3)+C
......
f(x-n)=f(x-(n+1))+C
......
f(1)=f(0)+C
将上列全部式子左右分别相加，得：
f(x+1)+f(x)+f(x-1)+f(x-2)+...+f(1)=f(x)+f(x-1)+C+ f(x-2)+C +(x-3)+C...+f(0)+C
得，f(x+1)=xC+f(0) +C (xC=nC)
易得，f(0)=0 (此步证明过程，取y=0即得）
故，f(x)=（x-1）C+f(0) +C=Cx

Answer 5

柯西定理
你给出的条件还少
先证明整数，再推广到有理数，最后证明实数域上成立……