Question

无界函数和有界函数相乘还是无界函数吗?如何证明?

Answer 1

这个是不一定
先举个 无界函数和有界函数相乘 是 有界函数的例子：
y=sinx (有界） h=1/x (无界）
y*h= sinx / x
因为 当|x|>=1 时 |sinx / x|<1
当 |x|<1时 又有： |sinx| <|x| ,不明白的话 你画个单位圆。
或者 你查查 这个极限 lim(sinx / x)=1 x→0 怎么来的就懂了。

综上可以看出 |sinx /x |<=1 有界

又比如 : y= x (无界） h= 0 （有界）
y*h=0 有界

再举个 无界函数和有界函数相乘 是 无界函数的例子：
y=x h=2
y*h=2x
或者： y= 1/x h=cosx （有界）
y*h= cosx /x (无界）

Answer 2

可能有界 也可能无界
【严正声明 以下所讨论的所有函数定义域为非负数】
例如函数Y=X为无界函数 Y=1/X为有界函数 他们的沉积为Y=1 有界
例如函数Y=X*X为无界函数 Y=1/X为有界函数 他们的沉积为Y=X 无界

通常来说 一个函数无界函数在趋于∞的时候函数值也趋于∞ 如果此时它乘以一个比它高阶（或同阶）无穷小的函数 那么就是有界函数

否则是无界

Answer 3

仁兄的严正声明中的举例貌似是错误的吧