Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．

又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，

而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．

又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2√3 ，BC=2，AM=3，CM=1．

∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，FC/EA =1/3∴FC⊥平面ABCD．

∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．

∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．

∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，

连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．

而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，

∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴BM=AB•sin30°= √3 ．

由FC/EA =GC/GA =1/3 ，得GC=2．∵BG=√（BM^2+MG^2） =2√3 ．

又∵△GCH∽△GBM，∴GC/BG =CH/BM ，

则CH=GC•BM/BG =2×√3 /2√3 =1．

∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．

∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 √2/2 ．

Answer 2

解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2
3
FC
EA
1
3
∴FC⊥平面ABCD．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角．（8分）
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=
3

由
FC
EA
GC
GA
1
3
BM2+MG2
3
又∵△GCH\～△GBM，∴
GC
BG
CH
BM
GC•BM
BG
2×3
23
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
2
2 ．