Question

证明不等式当x>0,1+xln(x+√(1+x^2)>√(1+x^2)

Answer 1

利用求导公式很容易就可以证明，设f(x)=xln(x+√(1+x^2))-√(1+x^2)+1,对其求导，
即可得出f'(x)=ln(x+√(1+x^2))，若x>0,那么f'(x)>0，另外可求出，f(0)=0，所以f(x)当x>0时，f(x)是递增的，
f(x)>f(0)=0,即不等式成立。

Answer 2

证：x属于【0，π/2】，所以sinx，cosx都属于【0，1】，所以√sinx+√cosx≥sin²x+cos²x=1，左边得证。
√sinx+√cosx≤√【2（sinx+cosx）】=√【2√2sin（x+π/4）】≤√（2√2）=2^（3/4），右边得证。所以不等式成立。证毕

Answer 3

要证原式，即证ln(x＋(1 x^2)∧1/2)＞x/(（x∧2＋1）∧1/2 1).左边＞ln(x＋1)右边＜x/(x＋1) 所以证明ln(x＋1)＞x/（x＋1）即可。设f（x）＝ln(x＋1)－x/(x＋1) 求导得x/（x＋1）^2＞0所以f（x）＞f（0）＝0所以原式得证