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试证明1^3+2^3+3^3+…+n^3=（1+2+3+…+n）^2

Answer 1

证明，方法一:(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1.∴n^3=(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4∴左边=∑i^3=(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2=(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)=(1/4)(n^4+2n^3+n^2)=[(1/2)n(n+1)]^2=(1+2+3+…+n)^2[附注:这里用了另一个公式∑i^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)证明如下:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴n^2=(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3∴∑i^2=(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3=......=(1/6)n(n+1)(2n+1)]方法二:数学归纳法当n=1时，左边1^3=1，
右边1^2=1左边=右边假设当n=k时等式成立
1^3+2^3+3^3+…k^3=(1+2+3+............+k)^2则当n=k+1时1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3=(1+2+3+............+k)^2+(k+1)^3
1+2+3....+k=k(k+1)/2
等差数列=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3
=(1+k)^2(k^2/4+k+1)=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2(k+2)^2/4=[(k+1)(k+1+1)/2]^2=(1+2+3......+k+k+1)^2
1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2
也是等差数列所以当n=k+1等式也成立所以，1^3+2^3+3^3+........+n^3=(1+2+3+........+n)^2

Answer 2

首先我们有公式：(1+x)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1
于是：
1^4+2^4+…+(n+1)^4
=(0+1)^4+……+(n+1)^4
=(0^4+……+n^4)+4*(0^3+……+n^3)+6*(0^2+……+n^2)+4*(0+……+n)+(n+1)
=(0^4+……+n^4)+4*(1^3+……+n^3)+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2+(n+1)
=(0^4+……+n^4)+4*(1^3+……+n^3)+2n^3+3n^2+n+2n^2+2n+n+1
=(0^4+……+n^4)+4*(1^3+……+n^3)+2n^3+5n^2+4n+1
即：(n+1)^4=4*Sn+2n^3+5n^2+4n+1
4*Sn=n^4+2n^3+n^2
4*Sn=n^2(n+1)^2
Sn=n^2(n+1)^2/4
Sn=[n(n+1)/2]^2
1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2
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