Question

已知A,B,C三点的坐标分别是A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sina),其中(90<a<270)

1)绝对值向量AC=绝对值向量BC,求角a的值
2.若向量AC*向量BC=-1,求sin2a

Answer 1

第一个问题：
由A、B、C的坐标，得：向量AC＝（cosα－3，sinα）、向量BC＝（cosα，sinα－3），
∴｜向量AC｜＝√［（cosα－3）^2＋（sinα）^2］、
　｜向量BC｜＝√［（cosα）^2＋（sinα－3）^2］，
依题意，有：｜向量AC｜＝｜向量BC｜，
∴（cosα－3）^2＋（sinα）^2＝（cosα）^2＋（sinα－3）^2，
∴（cosα）^2－6cosα＋9＋（sinα）^2＝（cosα）^2＋（sinα）^2－6sinα＋9，
∴cosα＝sinα，又90°＜α＜270°，∴α＝225°。

第二个问题：
∵向量AC·向量BC＝－1，∴（cosα－3）cosα＋sinα（sinα－3）＝－1，
∴（cosα）^2－3cosα＋（sinα）^2－3sinα＝－1，
∴1－3（cosα＋sinα）＝－1，∴cosα＋sinα＝2/3，∴（cosα＋sinα）^2＝4/9，
∴（cosα）^2＋2cosαsinα＋（sinα）^2＝4/9，
∴1＋sin2α＝4/9，∴sin2α＝－5/9。