Question

如图,正方形ABCD的边长为8,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F。

1.请判断△PFA是否与△ABE相似，并说明理由；
2.当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

1、∵ABCD是正方形
∴∠DAB=∠B=90°
∵PF⊥AE
∴△PFA是Rt△
∴∠BAE+∠AEB=90°
∠PAF+∠BAE=90­
∴∠PAF=∠AEB
∴Rt△PFA∽Rt△ABE
2、当∠APE=90°时，即EP⊥AD时
那么△APE∽△PFA∽△ABE
∵∠PAB=∠ABE=∠APE=90°
∴四边形ABEP是矩形
∴PA=BE
∵E是BC边的中点
∴PA=BE=1/2BC=1/2×8=4
∴当x=4时，以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似