Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面

在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．（1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：PB⊥平面ADMN

Answer 1

1.∵底面ABCD是菱形
∴AD∥BC
∴AD∥面PBC
∵面ADMN∩面PBC=MN
∴AD∥MN
又AD∈面PAD
∴MN∥面PAD
2.连BD，作BQ⊥AD于Q，连PQ
易证△ABD是正三角形
∵△PAD是正三角形
∴AB=AD=AP
∴△PAB是等腰三角形
∵N是PB中点
∴AN⊥PB(等腰三角形底边的高与中线重合)
∵△PAD、△ABD都是正三角形，BQ⊥AD
∴PQ⊥AD
∴AD⊥面PQB
∴AD⊥PB
又AN⊥PB(已证)
∴PB⊥面ADMN

Answer 2

1.∵底面ABCD是菱形
∴AD∥BC
∴AD∥面PBC
∵面ADMN∩面PBC=MN
∴AD∥MN
又AD∈面PAD
∴MN∥面PAD
2.连BD，作BQ⊥AD于Q，连PQ
易证△ABD是正三角形
∵△PAD是正三角形
∴AB=AD=AP
∴△PAB是等腰三角形
∵N是PB中点
∴AN⊥PB(等腰三角形底边的高与中线重合)
∵△PAD、△ABD都是正三角形，BQ⊥AD
∴PQ⊥AD
∴AD⊥面PQB
∴AD⊥PB
又AN⊥PB(已证)
∴PB⊥面ADMN