Question

任意三角形的顶点与各边三等分点连线形成的中间三角形形面积占总面积的多少？

Answer 1

1.任意三角形的顶点与对边的两个三等分点相连后,中间三角形的面积占总面积的1/3.(如左图)

因为三个小三角形中,BD=DE=EC,而这三边上的高相同,故三个小三角形面积都相等.

2.⊿ABC中,AD=AB/3,BE=BC/3,CF=AC/3,则S⊿MGH=(1/7)S⊿ABC.(见右图)

证明:作DP∥BC,交AE于P,则PD/BE=AD/AB=1/3;

∵BE=BC/3,即CE=2BE.

∴PD/CE=1/6,则DM/MC=PD/CE=1/6,MC/DC=6/7.

故S⊿ACM/S⊿ACD=MC/DC=6/7, S⊿ACM=(6/7)S⊿ACD;

又S⊿ACD/S⊿ABC=AD/AB=1/3, S⊿ACD=(1/3)S⊿ABC.

∴S⊿ACM=(6/7)*(1/3)S⊿ABC=(2/7)S⊿ABC;

同理:S⊿ABG=(2/7)S⊿ABC;

S⊿BCH=(2/7)S⊿ABC.

∴S⊿MGH=(1-2/7-2/7-2/7)S⊿ABC=(1/7)S⊿ABC.

Answer 2

答案应该是1/7.

详情请参阅附图的证明！