线性代数解题，要有过程，越详细越好，谢谢
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5. 解: |A-λE|=
1-λ -6 -3
0 -5-λ -3
0 6 4-λ
= (1-λ)[(-5-λ)(4-λ)+18]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)^2(-2-λ)
所以A的特征值为 1,1,-2.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T, a2=(0,1,-2)^T
所以A的属于特征值1的全部特征向量为 c1a1+c2a2, c1,c2是不全为0的任意常数.
(A+2E)X=0 的基础解系为 a3=(1,1,-1)^T
所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 c3a3, c3是为0的任意常数.
6. 解: 二次型的矩阵 A=
4 0 0
0 3 -1
0 -1 3
|A-λE| = (4-λ)[(3-λ)^2-1] = (2-λ)(4-λ)^2.
所以A的特征值为2,4,4.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,1)^T
(A-4E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)^T, a3=(0,1,-1)^T (已正交)
单位化得:
b1=(1/√2)(0,1,1)^T
b2=(1,0,0)^T
b3=(1/√2)(0,1,-1)^T
令P=(b1,b2,b3)=
0 1 1/√2
1/√2 0 1/√2
1/√2 0 -1/√2
则 X=PY 是正交变换, 且 f = 2y1^2+4y2^2+4y3^2.
1-λ -6 -3
0 -5-λ -3
0 6 4-λ
= (1-λ)[(-5-λ)(4-λ)+18]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)^2(-2-λ)
所以A的特征值为 1,1,-2.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T, a2=(0,1,-2)^T
所以A的属于特征值1的全部特征向量为 c1a1+c2a2, c1,c2是不全为0的任意常数.
(A+2E)X=0 的基础解系为 a3=(1,1,-1)^T
所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 c3a3, c3是为0的任意常数.
6. 解: 二次型的矩阵 A=
4 0 0
0 3 -1
0 -1 3
|A-λE| = (4-λ)[(3-λ)^2-1] = (2-λ)(4-λ)^2.
所以A的特征值为2,4,4.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,1)^T
(A-4E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)^T, a3=(0,1,-1)^T (已正交)
单位化得:
b1=(1/√2)(0,1,1)^T
b2=(1,0,0)^T
b3=(1/√2)(0,1,-1)^T
令P=(b1,b2,b3)=
0 1 1/√2
1/√2 0 1/√2
1/√2 0 -1/√2
则 X=PY 是正交变换, 且 f = 2y1^2+4y2^2+4y3^2.
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2024-04-02 广告
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