Question

如图，四边形ABCD中。。。。

Answer 1

1)
如图，
已知：四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AB∥CD，
求证：四边形ABCD为菱形
证明：连接BD。
∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB（内错角）
∵AB=AD，CB=CD
∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB（等腰△ABD和等腰△CBD）
∴△ABD≌△CDB（BD公共边，两底角对应相等）
∴AB=AD=BC=CD
∴菱形ABCD得证。
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2）
不正确。
举例：先做等边三角形ABD，边长是1，做BD边上的垂线，并延长到C点，使得BC=1，连接BC、CD。
这样的ABCD是筝形，且AC=BD=1，但不是矩形。

Answer 2

郭敦顒回答：
（1）已知：在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD ，AD∥BC
求证：筝形ABCD是菱形
证明：连对角线AC，BD，相交于O，AC是公共边，
∴△ABC≌△ADC
∴∠ACB=∠ACD，∠CAB=∠CAD
在等腰△ABD，和等腰△CBD中，它们的底角分别相等，AO、CO是中垂线（也是中线、高和顶角的分角线）
∴AC⊥BD
∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
∴∠A=∠C
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，BD是公共边
∴等腰△ABD≌△CBD，
∴AD=CD=BC=AB
∴筝形ABCD是菱形。
图形：在原图上连对角线，并取交点O（中点）即是，很简单，不另附图。
（2）对角线相等的筝形是矩形的说法正确吗？
绝大多数情况下是不正确的。只当两对角线相等且相互平分时才是正确的，并且是正方形。
如在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD ，
对角线AC=BD=4，相交于O，AO=1，CO=3，BO=DO=2
∴在Rt⊿AOD中两直角边为1与2，而在Rt⊿COD中两直角边为3与2，
所以，它们的斜边AD＜CD
90°＞∠D=26.565°+56.31°=82.875°
所以，筝形ABCD不是矩形。

Answer 3

连AC，BD 交于O
ABC全等于ADC（边边边）
AB=AD ABD为等腰
角BAC=角DAC 所以AC垂直BD
（1）令AB平行CD
角BAC=角DCA=角BCA
则AB=BC=CD=AD
所以为菱形
（2）不正确
保持AC，BD长度不变
假设 AD+AB=DB=AC
使AC水平向左移
这时CD长度下降而AD长度上升
只有当AD=CD时才会是菱形（而且是矩形）其他的n种情况他都只是筝形

（第二小题这只是一种动态分析做法，还有很多种解法，比如：特例法、反证法都可以）