Question

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明A*的秩r(A*)=n

Answer 1

证明：

∵|A| A逆=A*

∴|A*|=||A| A逆|=|A|^n |A*逆|

而A可逆，所以|A|≠0且|A*逆|≠0

∴|A*|≠0，即A*可逆，即满秩，r(A*)=n

扩展资料

矩阵的秩的性质：

1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、 初等变换不改变矩阵的秩。

3、 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

4、P，Q为可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

Answer 2

证明：
∵|A| A逆=A*
∴|A*|=||A| A逆|=|A|^n |A*逆|
而A可逆，所以|A|≠0且|A*逆|≠0
∴|A*|≠0，
即A*可逆，即满秩，r(A*)=n

Answer 3

r(A^-1) = r(A) = n
A* = A^-1 * |A|
所以 r（A*） = r（A^-1） = n

Answer 4