Question

如图，点P在∠AOB的平分线上，且∠ONP+∠OMP=180°，求证PM=PN

Answer 1

因∠ONP+∠OMP=180°，故OMPN四点共圆。证明如图：

Answer 2

过点P分别做AO,BO的垂直线，交点分别为C，D，
∵OP为∠AOB的角平分线
∴PC=PD，∠PCN=∠PDM=90
∵∠PMD=180-∠OMP
∴∠PMD=∠ONP
在△PCN和△PDM中，
∵PC=PD，
∠PCN=∠PDM=90
∠PMD=∠ONP
∴△PCN≌△PDM
∴PM=PN

追问

从这部∠PMD=180-∠OMP 到这部，∠PMD=∠ONP，能不能在详细一些，怎么就相等了

追答

根据原题给的条件：∠ONP+∠OMP=180°，则∠ONP=180-∠OMP。

Answer 3

∠在ON上取点Q，使得：OQ=OM，则：
三角形OQP与三角形AMP全等，则：∠OQP=∠OMP，PQ=PM
又：∠ONP＋∠OMP=180°，则：∠ONP=∠PMB
因为：∠PMB=∠PQA，
则：∠PQA=∠QNP，则：PN=PQ
又因为：PQ=PM
则：PM=PN