Question

高考数列

2Sn=an＋1-2^(n+1)+1, n∈N且a1,a2+5,a3成等差数列
（1）求a1
（2）求数列{an}的通项公式．
（3）证明，任意n∈N有1/a1+2/a1+····1/an<3/2
（3）证明，任意n∈N有1/a1+1/a2+····1/an<3/2，发错了主要是第三问啦，谢谢

Answer 1

1、
2S1=2a1=a2-4+1=a2-3
a2=2a1+3
2S2=2(a1+a2)=2(a1+2a1+3)=6a1+6=a3-8+1=a3-7
a3=6a1+13
a2+5=2a1+8
a1、a2+5、a3成等差数列，则
2(a2+5)=a1+a3
2(2a1+8)=a1+6a1+13
整理，得
3a1=3
a1=1
2、
2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1=S(n+1)-Sn-2^(n+1)+1
S(n+1)=3Sn+2^(n+1)-1
S(n+1)+2^(n+2)-1/2=3Sn+3×2^(n+1)-3/2
[S(n+1)+2^(n+2) -1/2]/[Sn+2^(n+1)-1/2]=3，为定值。
S1+4 -1/2=a1+4 -1/2=1+4-1/2=9/2
数列{Sn+2^(n+1) -1/2}是以9/2为首项，3为公比的等比数列。
Sn +2^(n+1) -1/2=(9/2)×3^(n-1)=3^(n+1) /2
Sn=3^(n+1) /2 -2^(n+1) +1/2
n≥2时，
S(n-1)=3ⁿ/2 -2ⁿ +1/2
an=Sn-S(n-1)=3^(n+1)/2 -2^(n+1) +1/2 -3ⁿ/2 +2ⁿ -1/2=3ⁿ-2ⁿ
n=1时，a1=3-2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ-2ⁿ。
3、
证：
题目有问题，怎么第二个分子是2，第一个和最后一个分子都是1？什么规律？改一下，我再回答，不过前两问还是很简单的。