Question

高一数学三角恒等变换中的题目，必修4中P144第5题，在线等答案。我只等20分钟，拜托了

设f(a)=sin^Xα+cos^Xα,X∈{n|n=2k,k∈N+}.利用三角变换，估计f(α)在X=2,4,6的取值情况，对X取一般值时f(α)的取值范围作一个猜想并证明.（重要的是证明,不要归纳的)

Answer 1

1/2^(k-1)<f(a)<1
证明：令a=sin^2α,b=cos^2α
故a+b=1,
f(α)=a^k+b^k=a^k+(1-a)^k
求导;y'=a^klna-(1-a)^klna,显然0<a<1/2,y'<0,1/2<a<1,y'>0
故f(a)min=f(1/2)=1/2^(k-1),f(a)max=max{f(0),f(1)}=0,
故1/2^(k-1)<f(a)<1

Answer 2

当x=2,f(a)=1
当x=4,f(a)=（sin^2α+cos^2α）^2-2sin^2αcos^2α。1/2《f(a)《1
当x=6,1/4《f(a)《1
当x=2k,1/2^(k-1)《f(a)《1