Question

E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BE=CG=DH=1/3AB，则图中阴影部分的面积

与正方形ABCD的面积之比为（ ）。

Answer 1

解：因为四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=BC ∠A=∠B=90°

DH=AE=BF=AB/3

则AH=BE=2AB/3

∴△AEH≅△BFE

∴EH=EF ∠AHE=∠BEF

同理EF=FG FG=GH GH=HE

∴HE=EF=FG=GH

∴四边形EFGH是菱形，

因为∠AHE+∠AEH=90°

∴∠BEF+∠AEH=90°(等量代换)

∴∠HEF=180-90=90°

∴四边形EFGH是正方形。(一角为直角的菱形)

S正方形EFGH=EH^2=((AB/3)^2)+((2AB/3)^2)
=5(AB^2)/9
∴S阴影/S正方形ABCD=5/9

Answer 2

应该是“AE=BF=CG=DH”

∵正方形各边相等，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
又AE=BF=CG=DH=AB/3
∴AH=BE=FC=DG=2AB/3
∴RT△AEH≅RT△BFE≅RT△CGF≅RT△DHG
∴EH=FE=GF=HG
∴∠AHE=∠BEF
因为∠AHE+∠AEH=90°
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠HEF=180°-90°=90°
∴EFGH也是正方形,它的面积=EF²
设正方形ABCD边长为1,
∴EF²=(1/3)²+(2/3)²=5/9
∴S阴/S正方形ABCD=5/9

Answer 3

设正方形ABCD的边长为3，则面积为9，而阴影正方形的面积为5，故所求比为5：9。