Question

设n维向量组a1，a2，...，am线性无关，a1，a2，...，am，B线性相关，试用两种不同方法证明B可由，，，

设n维向量组a1，a2，...，am线性无关，a1，a2，...，am，B线性相关，试用两种不同方法证明B可由a1，a2，...，am线性表示，且表示法唯一。

Answer 1

证一.
由于 a1,a2,...,am,B线性相关
所以存在一组不全为0的数 k1,k2,...,km,k 使得
k1a1+k2a2+...+kmam+kB=0
则必有k≠0.
否则k1a1+k2a2+...+kmam=0,
而a1,a2,...,am线性无关,
所以k1=k2=...=km=0
这与 k1,k2,...,km,k 不全为0矛盾.
故有 B=(-1/k)(k1a1+k2a2+...+kmam)
即 B可由a1,a2,...,am线性表示.
设 B = k1a1+k2a2+..+kmam
B = k1'a1+k2'a2+..+km'am
则 (k1-k1')a1+(k2-k2')a2+..+(km-km')am=0
由 a1,a2,...,am线性无关知
ki-ki' = 0, 即 ki = ki', i=1,2,...,m
所以表示法唯一.
证二.反证法.
由已知 a1,a2,...,am,B线性相关
所以存在一组不全为0的数 k1,k2,...,km,k 使得
k1a1+k2a2+...+kmam+kB=0
假如B不能由a1,a2,...,am线性表示
则必有k=0 (k≠0时如上就能表示)
所以k1a1+k2a2+...+kmam=0
且k1,k2,...,km不全为0
这与已知a1,a2,...,am线性无关矛盾.
所以 B可由a1,a2,...,am线性表示

Answer 2

用反证法
设
B= k1a1+k2a2+..+kmam = k1'a1+k2'a2+..+km'am
=>(k1-k1')a1+(k2-k2')a2+..+(km-km')am=0
=> k1-k1'=0 and k2-k2'=0 and...and km-km'=0
=> k1=k1' and k2=k2'and...and km=km'