Question

请先观察下列算式，再填空：

3²-1²=8*1, 5²-3²=8*2
7²-5²=8*3 9²-7²=8*4
11²-9²=8*5 13²-11²=8*6……

1通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论（用含n的式子表示）：
2运用初1十章所学的乘法公式来说明猜想的正确性。

请讲清楚。尤其第二问，谢了。

Answer 1

(1) (2n+1)^2-(2n-1)^2=8*n
(2) (2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)]*[(2n+1)-(2n-1)]=4n*2=8n
第一步用到公式 a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Answer 2

（1）(2n + 1) ² - (2n - 1) ² = 8n
（2）证明：∵(2n + 1) ² - (2n - 1) ²
= (2n + 1 + 2n - 1) (2n + 1 - 2n + 1)
= 4n × 2
= 8n
∴(2n + 1) ² - (2n - 1) ² = 8n

Answer 3

初1十章所学的乘法公式 指的是 （x+a）^2=x^2+2ax+a^2吧
上题是关于奇数数列的式子，1=2x1-1,3=2x2-1,5=2x3-1,7=2x4-1,.....(这里能明白什么意思吧，奇数数列是 2n-1的数列）
先用奇数的通性来解析下，
（2x(n+1)-1)^2-(2xn-1)^2
=(2n+2-1)^2-(2n-1)^2
=(2n+1)^2-(2n-1)^2
=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)
=8n 到这里懂了吧。
现在用具体的数来解析
3^2-1^2
=（2x("1"+1)-1）^2-(2x"1"-1)^2
=(2x"1"+2-1)^2-(2x"1"-1)^2
=(2x"1"+1)^2-(2x"1"-1)^2
=(2x"1")^2+2x(2x"1")x1+1-((2x"1")^2-2x(2x"1")x1+1)
=2x(2x"1")x1+2x(2x"1")x1
=4x"1"+4x"1"
=8x"1"
同理
13²-11²=8*6 11=2x"6"-1,13=2x("6"+1)-1, 也就是说 11是第6个奇数，13是第6+1个奇数。
同上 将“1”换成“6” 算下去 就是
13²-11²
=8x“6”