Question

在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM, 与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．

我谢谢大家了，答案是四分之三，详细一点

Answer 1

不同意楼上，

首先，“这种问题在概率求解里面比较典型，从不同角度出发得到的解是不一样的。”据我所知，这种概率题很鲜有，并且数学问题结果肯定解出来是一样的，就像不可能a>0且a<0，这不是哲学的辩证

然后，正常解的话，只能是老师那种解法，设N在AB上，AN=AC，M为AB上任一点，AM<AC的概率就是点投在AN上的概率比上投在AB上的概率，当然可以把AB平分成n等分，那么AN=根号2/2 n，结果就显而易见了，根号2/2。而楼上的问题一会再说。

我想的是这出题者的意图肯定不是这个意思，一点投在直线上来算概率，用微积分来看的话，肯定会有歧义，既然有歧义，那肯定是题目的问题了

再看按角度分析，如下图，

把角ACB平分n等分，与AB交于N，我们分别取之为N1，N2，N3……

不难看出，AN1>N1N2>N2N3>……直到垂直平分线处再成了……<N(n-2)N(n-1)<N(n-1)B  把这些线段缩小看成M点的话，就发现这个M点也有大小之分，既然M点都有大小那还怎么算概率

乱七八糟说了这么多，不喜勿喷 

Answer 2

老师的答案是正确的。几何概型的定义就是三种比值。线段的长度比，图形的面积比，几何体的体积比。没有角度比的说法。

Answer 3

设AM‘=AC,此时∠ACM’=(180-45)°/2=67.5°
当∠ACM<∠ACM' 时，有AM<AC，即求∠ACM<67.5°的概率，因为CM在∠ACB内部，
故∠ACM的取值范围为0°~90°。于是概率为67.5/90=3/4

追问

我问老师，老师是说是二分之根号二，这个不对吗，为什么，谢谢了

追答

这种问题在概率求解里面比较典型，从不同角度出发得到的解是不一样的。上面我是从角度出发计算概率，如果从边长出发，AB总长度为根号2*AC，当AM<AC时，概率为：AC/根号2*AC=根号2/2
也是对的，你可以就这两种方法在和老师讨论一下，不过概率学中有一类问题都是这样的，历史遗留下来的，一直没人能解释，每种方法都没问题，但结果的确不一致