函数f(x)=lnx-ax,若f(x)有两个相异零点m、n,求证:mn大于e平方。a∈R 请详细点,不要原来的答案
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解:f(x)的导数为:f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x。
当a<0或a=0时,在x>0的范围内,f(x)只有一个零点,显然不合题意。
当a>0时,x∈(0,1/a),f(x)单调递增;x∈(1/a,+∞),f(x)单调递减;
由题意知,f(x)有m、n(m<n)两个零点,所以有f(1/a)=ln(1/a)-1>0,且m<1/a<n即有:
0<a<1/e且1/n<a<1/m,亦即:1/n<a<1/m(m>e)或者1/n<a<1/e(m<e);
m,n为零点,即ln(mn)=a(m+n),即有:
mn=exp(a(m+n))。因为a>1/n,所以有a(m+n)>(m+n)/m=1+n/m>1+1=2,即mn>e^2。
当a<0或a=0时,在x>0的范围内,f(x)只有一个零点,显然不合题意。
当a>0时,x∈(0,1/a),f(x)单调递增;x∈(1/a,+∞),f(x)单调递减;
由题意知,f(x)有m、n(m<n)两个零点,所以有f(1/a)=ln(1/a)-1>0,且m<1/a<n即有:
0<a<1/e且1/n<a<1/m,亦即:1/n<a<1/m(m>e)或者1/n<a<1/e(m<e);
m,n为零点,即ln(mn)=a(m+n),即有:
mn=exp(a(m+n))。因为a>1/n,所以有a(m+n)>(m+n)/m=1+n/m>1+1=2,即mn>e^2。
更多追问追答
追问
所以有a(m+n)>(m+n)/m=1+n/m>1+1=2,即mn>e^2 这一步怎么来的?
追答
因为1/e>a>1/n,所以有a(m+n)>(m+n)/n=1+n/m>1+1=2(因为n>m),即mn>e^2。
(因为可以证明m<e<1/a<n)
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