Question

设a∈R，函数f(x)=lnx-ax (1)若函数f(x)有两个相异零点m和n，求证:mn>e²

设a∈R，函数f(x)=lnx-ax (1)若函数f(x)有两个相异零点m和n，求证:mn>e²

Answer 1

解：f(x)的导数为：f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x。
当a<0或a=0时，在x>0的范围内，f(x)只有一个零点，显然不合题意。
当a>0时，x∈(0,1/a)，f(x)单调递增；x∈(1/a,+∞)，f(x)单调递减；
由题意知，f(x)有m、n(m<n)两个零点，所以有f(1/a)=ln(1/a)-1>0，且m<1/a<n即有：
0<a<1/e且1/n<a<1/m，亦即：1/n<a<1/m(m>e)或者1/n<a<1/e(m<e);
m,n为零点，即ln(mn)=a(m+n),即有：
mn=exp（a(m+n)）。因为a>1/n,所以有a(m+n)>(m+n)/m=1+n/m>1+1=2，即mn>e^2。
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