Question

22. 如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧 的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1

（1）求证：三角形DEC相似三角形ADC
（2）求⊙O的直径；
（3）AB的延长线与⊙O的切线CF交于点F，
求∠F的度数.

Answer 1

（1）证明：因为C是劣弧BD的中点
所以劣弧DC=劣弧BC
所以DC=BC
角DAC=1/2角劣弧DC
角BDC=1/2角劣弧BC
所以角DAC=角BDC
因为角DCE=角ACD （公共角）
所以三角形DEC和三角形ADC相似（AA)
(2)因为三角形DEC和三角形ADC相似（已证）
所以DC/CE=AC/DC
所以：DC^2=CE*AC
因为AE=2 CE=1 AC=AE+CE=3
所以DC=根号3
因为AB是直径
所以角ACB=90度
所以AB^2=AC^2+BC^2=3^2+3=12
所以AB=2倍根号3
所以圆O的直径是2倍根号3
（3）解：因为AB是圆O的直径
所以角ACB=90度
所以tan角BAC=BC/AC=根号3/3
所以角BAC=30度
因为CF是圆O的切线
所以角FCB=角BAC
所以角FCB=30度
所以角ACF=角ACB+角FCB=90+30=120度
因为角F+角BAC+角ACF=180度
所以角F=30度

Answer 2

（1）证明：
∵C是劣弧BD的中点
∴弧BC=弧CD
∴∠CAD=∠BDC
∵∠ACD=∠ACD
∴三角形DEC相似三角形ADC
（2）解：
∵AE=2，EC=1
∴AC=AE+EC=3
∵三角形DEC相似三角形ADC
∴CD/AC=CE/CD
CD²=AC×CE=3
CD=根号3
∵弧BC=弧CD
∴BC=CD=根号3
∵直径为AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得：直径AB=根号（AC²+BC²）=2根号3
（3）解：连接OC
∵直径为AB
∴OB=1/2AB=根号3
∵BC=根号3
∴OB=BC
∵OB=OC
∴OB=OC=BC
∴△OBC是等边三角形
∴∠BOC=60°
∵⊙O的切线CF
∴OC⊥CF
∴∠OCF=90°
∴∠F=∠OCF-∠BOC90°-60°=30°
(好累啊……同学，要努力学习了啊。）

Answer 3

∵弧BC=弧DC ∴∠BDC=∠DAC ∠DCE=∠DCA ∴⊿DEC∽⊿ADC DC/AC=EC/DC DC²=AC×EC=3 显然DC=BC,故BC²=3 AB²=BC²+AC²=12 AB=2√3 sin∠CAB=BC/AB=1/2 ∠CAB=30° ∠CBA=60° ∠FCB=∠CAB ∠F=∠CBA-∠FCB=30°