Question

若关于x的不等式（2x-1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是（　　）

因为不等式等价于（-a+4）x2-4x+1＜0，其中（-a+4）x2-4x+1=0中的△=4a＞0，且有4-a＞0．
故0＜a＜4，
解集中一定含有整数1，2，3，………………………………
答案提到的解集中一定含有整数1，2，3，是怎么得来的？

Answer 1

若关于x的不等式(2x-1)^2＜ax^2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是(　)
解：∵不等式等价于(-a+4)x^2-4x+1＜0，其中(-a+4)x^2-4x+1=0中的△=4a＞0，且有4-a＞0．
故0＜a＜4
不等式的解集为1/(2+√a)＜x＜1/(2-√a) ，
由1/4＜1/(2+√a)＜1/2 ，且解集中一定含有整数1，2，3，可得 3＜1/(2- √a)＜4
∴ √a＞5/3 √a＜9/4
∴解得a的范围为(25/9 ，49/16)

Answer 2

有整数恰好有3个
则 函数y=（-a+4）x2-4x+1 开口向上 且有解
因为 若开口向下 则整数解有无数个

开口向上即为 4-a＞0
有解 即为△=4a＞0

追问

有整数恰好有3个,为什么是1，2，3

Answer 3

我觉得这种解法不好
明显x不等于0
所以两边同除x^2
得到关于x分之一 的二次不等式 即 F（1/x）<a 的形式
求F（1/x）的取极大值 时1/x 的值 因为x是整数 之后可以确定x的三个值
之后就简单了

Answer 4

由△=4a〉0和4-a〉0得a的范围0＜a＜4就得到1.2.3

追问

解集中一定含有整数1，2，3与a的范围0＜a＜4有什么关系，为什么解集中整数恰好有3个，不是7，8，9