Question

高中数学解析几何题

设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(x+√3,my),向量b=(x-√3,y),向量a⊥向量b,动点M(x,y)的轨迹为曲线E
问:已知m=3/4,F(0,-1),直线l:y=kx+1与曲线E交于不同的两点M、N,则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时的实数k的值;若不存在,说明理由
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Answer 1

设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(x+√3,my),向量b=(x-√3,y),向量a⊥向量b,动点M(x,y)的轨迹为曲线E问:已知m=3/4,F(0,-1),直线l:y=kx+1与曲线E交于不同的两点M、N,则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时的实数k的值;若不存在,说明理由
解析：∵向量a=(x+√3,my),向量b=(x-√3,y),向量a⊥向量b （m∈R）
∴向量a·向量b =x^2-3+my^2=0
∴x^2/3+y^2/(3/m)=1
∵m=3/4
∴x^2/3+y^2/4=1，曲线E为焦点在Y轴上的一个椭圆
C=1
∴F(0,-1)是曲线E的下焦点
∵直线y=kx+1，与曲线E交于不同的两点M、N
Y^2=k^2x^2+2kx+1
代入椭圆得(4+3k^2)x^2+6kx-9=0
由韦达定理得x1+x2=-6k/(4+3k^2)，x1x2=-9/(4+3k^2)
|x1-x2|=√⊿/(4+3k^2)=12√(k^2+1)/(4+3k^2)
∴S(⊿FMN)=1/2*2*|x1-x2|
令f(k)= 12√(k^2+1)/(4+3k^2)
当k=0时，函数f(k)取极大值3
显然，⊿FMN面积最大时，其内切圆面积也最大
即此时直线L为y=1，M(3/2,1)，N(-3/2,1)，F(0,-1)
|FM|=|FN|=5/2，|MN|=3
令s=1/2(5/2+5/2+3)=4
∴其内切圆半径r=S/s=3/4
∴内切圆面积=πr^2=9π/16，此时k=0

Answer 2

E: x^2-3 =3/4y^2 x^2/3 - y^2/4 = 1; 是双曲线，题中意思好像F是其焦点，是不是数据有误，
m = -3/4??? 请检查一下。

追问

不..m=3/4没错
而且你E算错了貌似=,= x^2+my^2=3才对吧..椭圆吧..

追答

是，我算错了。请接受推荐答案。

追问

∴S(⊿FMN)=1/2*2*|x1-x2|

推荐答案里的这个三角型面积怎么得的...那个2哪里来的
不应该是S=1/2*(2/(√k^2+1))*|x1-x2|=12/(4+3k)么?

Answer 3

点E轨迹方程为：（x+√3）（x-√3）+my^2=0 即x^2+my^2=3