Question

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为X的A点，用水平恒力将

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为X的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处撤去恒力，质点沿半圆轨道到C处后又正好落回A点，求
①求推力对小球所做的功
②X取何值时，完成上述运动所做的功最小？最小功为。
③X取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少。
我觉得您的解答的第二个问有点小问题……它好像不能在最高点速度为0吧

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Answer 1

①设质点在C处的速度是Vc，由于离开C点后能落回到A点，所以由平抛运动规律　得
X＝Vc* t 　　　　t 是质点离开C点后在空中运动的时间
2R＝g* t^2 / 2
所以　Vc＝X * [根号( g / R)] / 2
设推力对小球所做的功（AB段）是W推，则从A到C过程中，由动能定理　得
W推－mg*2R＝m* Vc^2 / 2
即　W推－mg*2R＝m* { X * [根号( g / R)] / 2 }^2 / 2
得　W推＝2 mg R＋[ mg* X^2 / (8R) ]
②小球在最高点的最小速度设为V小，即
mg＝m*V小^2 / R
得　V小＝根号（gR）
所以最小的X值应满足：X小＝V小* t ，2R＝g* t^2 / 2
得最小的X值是　X小＝2R
这时推力最小的功是　W推小＝mg*2R＋ （m*V小^2 / 2）＝5mgR / 2
③由于推力做的功　W推＝F推*X
即　F推* X ＝2 mg R＋[ mg* X^2 / (8R) ]
得　F推＝（2 mgR / X）＋[ mg* X / (8R) ]
注意到，这是一个　Y＝（a / X）＋（X / b）形式的表达式，式中各量均为正数
要使　Y最小，必须是　（a / X）＝（X / b）
可见，要使推力最小，必须是　（2 mgR / X）＝[ mg* X / (8R) ]
得　X＝4 R
即当 X＝4 R 时，推力最小，最小的力是　F推小＝ [2 mgR / (4R)]＋[ mg* 4R/ (8R) ]＝mg