Question

如图所示，光滑水平面AB=x，其右端B处连接一个半径为R的竖直光滑半圆轨道，C为最高点．质量为m可视为质点

如图所示，光滑水平面AB=x，其右端B处连接一个半径为R的竖直光滑半圆轨道，C为最高点．质量为m可视为质点的小物块静止在A处，若用水平恒力将小物块推到B处后撤去该水平恒力，小物块将沿半圆轨道运动到C处并恰好抛落到A处．重力加速度为g，在整个运动过程中，求：（1）小物块在C处的速度vc和水平恒力对小物块做的功．（2）x与R满足什么关系时，水平恒力对小物块做功最小？并求出最小功．

Answer 1

（1）质点做平抛运动回到A点，设质点经过C点时速度为v_C，由平抛运动规律有：
小球在水平方向做匀速直线运动：x=v_Ct…①
小球在竖直方向做自由落体运动：2R=

1

2

gt²…②
联立①②解得：v_C=

x

t

＝

x

2×2R g

=

x

2

g R

…③
A到C过程只有推力F和重力对物体做功，由动能定理有：
W_F-2mgR=

1

2

mv_C²…④
解得：W_F=2mgR+

1

2

m

v

2 C

＝2mgR+

1

2

m(

x

2

g R

)2=

mg(16R2+x2)

8R

（2）由述④式知做功最小时v_C应该取最小值，即小物块恰好通过C点，小物块恰好通过C点时，只有重力提供圆周运动向心力，由牛顿定律有：
mg=m

v 2 C

R

…⑥
即：vC＝

gR

由③得：x=

2vC

g R

=

2 gR

g R

＝2R
将vC＝

gR

代入④可得：WFmin＝2mgR+

1

2

m

v

2 C

＝

5

2

mgR
答：（1）小物块在C处的速度v_c为

x

2

g R

水平恒力对小物块做的功为

mg(16R2+x2)

8R

．
（2）x与R满足x=2R时，水平恒力对小物块做功最小，最小功为

5

2

mgR．