Question

已知函数f(x)＝sinx＋cosx 求函数f(x)的最大值

Answer 1

f(x)=√2[(√2/2)sinx＋(√2/2)cosx]=√2[sinxcos(π/4)＋cosxsin(π/4)]=√2sin(x＋π/4)
1、最大值是√2，此时x＋π/4=2kπ＋π/2，即取得最大值是取值集合是：{x|x=2kπ＋π/4，k∈Z}
2、这个函数可以由y=sinx ====>>>>> 向左平移π/4个单位【得到y=sin(x＋π/4)】，再将所得到的函数图像上所有点的横坐标不变，纵坐标增加到原来的√2倍，得：y=√2sin(x＋π/4)，即：y=sinx＋cosx

Answer 2

【【注：该题方法较多。】】
解法一
f(x)=sinx+cosx=(√2)sin[x+(π/4)]≤√2
等号仅当x=2kπ+(π/4)时取得。
∴f(x)max=√2
解法二：
y=sinx+cosx
上式的两边平方，结合sin²x+cos²x=1且2sinxcosx=sin2x可得
y²=1+sin2x.
易知，恒有-1≤sin2≤1
∴恒有：y²=1+sin2x≤2
∴-√2≤y≤√2
∴(y)max=√2

Answer 3

郭敦顒回答：
已知函数f(x)＝sinx＋cosx 求函数f(x)的最大值
当f(x)′＝（sinx＋cosx）′=0时，f(x)有最大值。
（sinx＋cosx）′=cosx－sinx =0
∴sinx=cosx
∴x=45°
考虑到f(x)即（sinx＋cosx）为周期函数，周期为360°
∴当x=45°+n360°,n为整数时，f(x)有最大值
f(x)最大值=0.7071+0.7071=1.4142