Question

已知a∈R，函数f(x)=4x^3-2ax+a,(1)求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0

Answer 1

解：(1).原函数f(x)=4x^3-2ax+a，则导函数f'(x)=12x^2-2a
当a>0时，-(a/6)^1/2<x<(a/6)^1/2, f'(x)<0,则函数在区间[-(a/6)^1/2，(a/6)^1/2]单调递减
x<-(a/6)^1/2，或x>(a/6)^1/2，f'(x)>0 则函数单调递增。
当a<0时，f'(x)>0，函数在x∈R, 函数单调递增。
(2).构建新函数 u(x)=f(x)+|2-a|，导函数u'(x)=f'(x)=12x^2-2a
得u(x)与f(x)的单调区间一致。所以：
当a>0,函数为单调递减，在 0≤x≤1 有(a/6)^1/2=1 解得a=6
即 u(1)为函数的最小值，代入x=1,a=6 u(1)=4-12+6+4=2>0
得函数u(x)单调递减区间大于0
当a<0,函数单调递增，当x=0时函数取到最小值，u(0)=a+2-a=2>0
故：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0

Answer 2

求导，f'(x)=12x^2-2a，当a≤0，f(x)在R上单调递增，当a>0，(-根号a/6，根号a/6)，f(x)单调递减.；(-无穷大，-根号a/6)，(根号a/6，正无穷大)，f(x)单调递增。