Question

已知a,b为整数且9整除（a的平方+ab+b的平方）求证：3整除a，整除b

。

Answer 1

如果3不整除a则，显然3不整除b。（反之亦然）
假设a=3k+s b=3m+t　　｜s|=|t|=1
则原式＝9k^2+9m^2+6ks+6mt+s^2+t^2 除以3余数＝2, 与原式是9倍数矛盾
所以a ,b都是3的倍数

Answer 2

利用排除法。任何一个整数都能表示成 3k、3k＋1、3k－1 中的一种（k为整数）。
于是，当a、b不全被3整除时：
一、设a＝3m、b＝3n＋1。其中m、n都是整数。则：
　　a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋3m（3n＋1）＋9n^2＋6n＋1。
　　显然，能被9整除的数一定能被3整除。
　　∴1也能被3整除。
　　这自然是错误的，∴a＝3m、b＝3n＋1的假设是错误的。

二、考虑到a、b的对称性，显然，a＝3m＋1、b＝3n也是错误的。

三、设a＝3m、b＝3n－1。其中m、n都是整数。则：
　　a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋3m（3n－1）＋9n^2－6n＋1。
　　显然，能被9整除的数一定能被3整除。
　　∴1也能被3整除。
　　这自然是错误的，∴a＝3m、b＝3n＋1的假设是错误的。

四、考虑到a、b的对称性，显然，a＝3m－1、b＝3n也是错误的。

五、设a＝3m＋1、b＝3n＋1。其中m、n都是整数。则：
　　a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9mn＋9（m＋n）＋9n^2＋2。
　　∴2能被9整数。
　　这自然是错误的，∴a＝3m＋1、b＝3n＋1的假设是错误的。

六、设a＝3m＋1、b＝3n－1。其中m、n都是整数。则：
　　a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9mn＋3（m－n）＋9n^2＋1。
　　显然，能被9整除的数一定能被3整除。
　　∴1也能被3整除。
　　这自然是错误的，∴a＝3m＋1、b＝3n－1的假设是错误的。

七、考虑到a、b的对称性，显然，a＝3m－1、b＝3n＋1也是错误的。

八、设a＝3m－1、b＝3n－1。其中m、n都是整数。则：
　　a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9n^2＋9mn－9（m＋n）＋3。
　　∴3能被9整除。
　　这自然是错误的，∴a＝3m－1、b＝3n－1的假设是错误的。

综上所述，得：a、b都能被3整除。