Question

已知动点P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1,若记动点P的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程
（2）若直线L与曲线C香蕉于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该顶点的坐标
（3）试将（2）小题的结论进行推广，并证明你所推广的结论。

Answer 1

解：(1). 设动点为P(x,y)，由题设得：
√[(x-1)^2+y^2]=x-(-2)-1.
(x-1)^2+y^2=x+1.
x^2-2x+1+y^2=x+1.
x^2-3x+y^2=0.
(x-3/2)^2+y^2-9/4=0.
(x-3/2)^2+y^2=9/4. -----(*)
∴所求动点P(x,y)的轨迹是一个圆，圆心C(3/2,0),半径R=3/2.
(2) 设直线L与圆C交于A(x1,y1), B(x2,y2). 由(1)解知，原点O在圆C上。
连接OA,OB,AB.
∵OA⊥OB,∴△AOB为直角三角形。∠AOB=π/2.
AB为直角三角形AOB的斜边， ∴△AOB为圆C的内接直角三角形，∴AB为圆C的一条直径。
∴直线AB必过定点圆心C(3/2,0).
即直线L过定点C(3/2,0).
(3) 由(2),可以推论：圆内接直角三角形的斜边必过圆心。