Question

高数 有理函数的积分 分解因式的问题

有理函数的积分 到底哪个参数是怎么弄的？
比如 1/(x-2)(x+4) A/x-2+B/x+4
那么 1/(x²+1)(x²+x+1) 这个怎么拆？
是拆成 (Ax+B)/(x²+1)+(Cx+d)/(x²+x+1)=1 吗？
还是拆成 A/（x²+1）+（Bx+c）/(x²+x+1)=1 ？
如果分子最高次数是2 分母是4 而且不能化简 是让=分子吗？

如果是这三道题 你帮我写成分解因式的形式
不需要答案
写成 A/（X²+1）+B/（X+1） 这种
1. ∫(x+1)²/(x²+1)² dx
2. ∫dx/(x²+1)(x²+x+1)
3. ∫(-x²-2)/(x²+x+1)² dx

Answer 1

这是有理分式函数化为部分分式之和，原则是：
分母是不可分解的二次式：f(x)=(ax²+bx+c)^3
分子g(x)的次数<6
那么：g(x)/f(x)=(A1x+B1)/(ax²+bx+c)+(A2x+B2)/(ax²+bx+c)^2+(A3x+B3)/(ax²+bx+c)^3
g(x)=(A1x+B1)(ax²+bx+c)^2+(A2x+B2)(ax²+bx+c)+(A3x+B3)，然后比较系数可求出。
现回到你那3题：
1.设（x+1)²/(x²+1)² =(Ax+B)/(x²+1)+(Cx+D)/(x²+1)²
由(x+1)²=(Ax+B)(x²+1)+(Cx+D)，比较系数可求出
2.设1/(x²+1)(x²+x+1)=(Ax+B)/(x²+1)+(Cx+D)/(x²+x+1)
由1=(Ax+B)(x²+x+)+(Cx+D)(x²+1)，比较系数可求出
3.设（-x²-2)/(x²+x+1)²=（Ax+B)/(x²+x+1)+(Cx+D)/(x²+x+1)²
由：-x²-2=（Ax+B)(x²+x+1)+(Cx+D)，比较系数可求出

追问

第1和第3
为什么（CX+D）没有乘前面的分母？
是忘记了，还是这是种简化计算的方法？
另外谢谢你，但是你回答之前我就选了最佳了。
不过还是谢谢你。

追答

第1和第3，（CX+D）下面的分母是公分母，当然没有啦

追问

e...
我做题做的头快晕死了。
我感觉计算量超大啊。哎。
以后有问题在请教你，但是我没分，希望你能帮帮我，谢谢你了。

追答

分无所谓的，只要你认为是对的，不要忘记采纳就行。

Answer 2

分母含有(x-a)^k，那么可以分解出k个式子：A1/(x-a)，A2/(x-a)^2，...，Ak/(x-a)^k。
分母含有不可分解的(x^2+px+q)^k，那么可以分解出k个式子：(A1x+B1)/(x^2+px+q)，(A2x+B2)/(x^2+px+q)^2，...，(Akx+Bk)/(x^2+px+q)^k。

1、(Ax+b)/(x^2+1)＋(Cx+D)/(x^2+1)^2
2、(Ax+B)/(x^2+1)＋(Cx+D)/(x^2+x+1)
3、(Ax+B)/(x^2+x+1)＋(Cx+D)/(x^2+x+1)^2

追问

只要分母分解到不能分解 只要是2次 分子就是 AX+B
是1次 分子就是A
对吧？
最后待定系数法去计算A B C D这些数
譬如 1、(Ax+b)/(x^2+1)＋(Cx+D)/(x^2+1)^2
(Ax+b)*(x^2+1)^2+(Cx+D)*(x^2+1)=分子 即 (x+1)²
然后特殊值法，算出A B C D 对吧？
为什么我做高等数学课本 课后习题 为什么很多题计算量都非常大？
有些算了很久 中间不能化简 答案都是一大堆 总感觉错了的感觉。

追答

当分母出现不能分解的二次因式，且是二次方、三次方等等时，结果有时确实很复杂

追问

非常感谢，我没分了，我以后有问题还可以来请教你吗？