Question

等差数列an的首项是a1=1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{bn}的第2项，第3项，第4项.
1，求an通项公式
2，设bn=1/n(an+3)，Sn=b1+b2.....+bn，问是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有sn>t/36总成立？请求出t。

谢谢，过程什么的。。

Answer 1

解：
①等差数列{an}的首项a1=1,d>0,且第2项,第5项,第14项分别是
a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d
a2,a5,a13分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项
(a5)^2=a2*a13
(1+4d)^2=(1+d)*(1+13d)
d=0(舍去）d=2
an=1+(n-1)*2=2n-1
②bn=1/2n(n+1)
sn=1/2[1/(1×2)+1/(2×3)+.....1/n(n+1)]
=1/2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....1/n-1/(n+1)]
=1/2[1-1/(n+1)]=n/(2n+2)
假设存在整数t 使sn>t/36
而s(n+1)-sn=1/2(n+2)(n+1)>0
所以sn递增的 最小值s1=1/4
所以sn>1/4恒成立，得t<9时sn>t/36恒成立
又因为t为整数,所以存在t=8使得对任意的n均有sn>t/36总成立

Answer 2

(1).a2=d+1
a5=4d+1
a14=13d+1
(a5)^2=(a2)*(a14)
(4d+1)^2=(d+1)(13d+1)
16d^2+8d+1=13d^2+14d+1
3d^2-6d=0
因为d>0,所以d=2
an=(n-1)d+a1=2n-1
(2).b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27
q=b3/b2=3,b1=b2/q=1
可1/n(an+3)在n=1时怎么看都不=1
而且1/n(an+3)是什么？是(an+3)/n,还是1/[n(an+3)]?
an+3又是什么？是(an)+3,还是a(n+3)?

Answer 3

1)、a2=d+1
a5=4d+1
a14=13d+1
(a5)^2=(a2)*(a14)
(4d+1)^2=(d+1)(13d+1)
16d^2+8d+1=13d^2+14d+1
3d^2-6d=0，即3d（d-2）=0
因为d>0,所以d=2
an=(n-1)d+a1=2n-1
2）、bn=1/2n(n+1) =1/2*[1/n-1/(n+1)]
因为 b(n-1)=1/2*[1/(n-1)-1/n]
b(n-2)=1/2*[1/(n-2)-1/(n-1)]
………………
b2=1/2*[1/2-1/3]
b1=1/2*[1-1/2] 左右各相加，
有Sn=b1+b2+……+bn=1/2*[1-1/(n+1)]
假设存在整数t 使sn>t/36，满足题设。
则必须Sn（min）>t/36 也必须成立，显然当n越大，Sn越大，为递增函数。
所以S1=1/2*[1-1/2]=1/4>t/36 ,即 t<9,
也就是存在满足条件的最大的整数t=8.。