Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设bn= 1 n( a n +3) （n∈N*），S n =b 1 +b 2 +…+b n ，求S n ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S n ，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8S n ≤t（a n +3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得（a 1 +d）（a 1 +13d）=（a 1 +4d）2，…2 分 整理得2a 1 d=d2． ∵a 1 =1，解得（d=0舍），d=2．  …4 分 ∴a n =2n-1（n∈N*）．   …6 分 （Ⅱ）b n = 1 n( a n +3) = 1 2n(n+1) = 1 2 （ 1 n - 1 n+1 ）， ∴S n =b 1 +b 2 +…+b n = 1 2 [（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+…+（ 1 n - 1 n+1 ）]= 1 2 （1- 1 n+1 ）= n 2(n+1) ．   …10 分 （Ⅲ）假设存在整数t满足8S n ≤t（a n +3）总成立． 得t≥ 2n (n+1) 2 ，而 2n (n+1) 2 = 2 n+ 1 n +2 ≤ 2 2+2 = 1 2 ，即 2n (n+1) 2 的最大值为 1 2 ， ∴t≥ 1 2 适合条件  …（12分）