Question

高中解析几何——问题

1.将椭圆x平方/2+Y平方=1绕坐标原点逆时针旋转45°，后所得椭圆的最高点与原点的距离为（）

2.已知椭圆C：x平方/a平方 +y平方/b平方=1，（a>b>0)F1，F2左右焦点，Q为任意一点，三角形F1QF2重心G，内心I直线IG与X轴平行，C的离心率

怎么求？？？？？

Answer 1

1.将椭圆x平方/2+Y平方=1绕坐标原点逆时针旋转45°，后所得椭圆的最高点与原点的距离为（）
分析：解此题关键是确定椭圆旋转后的最高点，如何确定呢？试想，当椭圆逆时针旋转45°后。过其最高点作椭圆的切线，切线斜率一定为零，即平行X轴，所以该点在未旋转时的对应点切线斜率一定为-1
解析：∵椭圆x^2/2+y^2=1
设椭圆的一切线为y=-x+b==>y^2=x^2+b^2-2bx
带入椭圆得3x^2-4bx+2(b^2-1)=0
令⊿=16b^2-24(b^2-1)=0 ==>b^2=3==>b=±√3
∴将b=√3代入方程得3x^2-4√3x+4=0解得 x=2√3/3，y=√3/3
即最高点在未旋转时的对应点为(2√3/3,√3/3)
该点到原点距离为d=√15/3椭圆逆时针旋转45°后，到原点距离不变
∴旋转后椭圆的最高点与原点的距离为√15/3

2.已知椭圆C：x平方/a平方 +y平方/b平方=1，（a>b>0)F1，F2左右焦点，Q为任意一点，三角形F1QF2重心G，内心I，直线IG与X轴平行，C的离心率
解析：∵椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2=1，（a>b>0)
设Q(x0,y0)
∵G为△F1PF2的重心==>G点坐标为 G(x0/3,y0/3)
∵IG∥x轴，
∴I的纵坐标为y0/3，
∵在△F1QF2中，|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c
∴S△F1QF2=1/2•|F1F2|•|y0|
又∵I为△F1QF2的内心，∴I的纵坐标y0/3，即为内切圆半径，
内心I把△F1QF2 分为三个底分别为△F1QF2的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴S△F1QF2=1/2*(|QF1|+|F1F2|+|QF2|)*|y0/3|
∴1/2*|F1F2|*|y0|=1/2(|QF1|+|F1F2|+|QF2|)|y0/3|
即1/2*2c*|y0|=1/2(2a+2c)|y0/3|==>2c=(2a+2c)/3
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率e=c/a=1/2

Answer 2

第一个问题：把X轴顺时针旋转四十五度得到Y=-X在该直线上方的椭圆上找到到该直线最远的点（可以设点为（根号2*COSA,SINA）用公式和三角函数解）。再把求出的点逆时针转45°，再求到原点距离（不用转也行）。第二题没看明白