Question

一道高中解析几何问题

面积为1的△PMN中，tanPMN=1/2，tanMNP=2，建立适当坐标系，求过M，N为焦点，且过P点的椭圆方程。

Answer 1

【解】作PQ⊥MN,交点为Q。设MN中点为O。
由tanPMN=1/2可知PQ=1/2MQ，tanMNP=2可知PQ=2NQ。
以O为远点MN为X轴建立坐标系，设M(-c，0)，N(c,0)（设c>0）。
由于MQ=2PQ=4NQ，可得Q(0.6c,0)，P(0.6c,0.8c)。
设椭圆方程为x2/a2+y2/(a2-c2)=1。
因为△PMN面积为1，故1/2*2c*0.8c=1，解得c=√5/2。
将P点代入椭圆方程，解得a。由此得到椭圆方程。

Answer 2

以MN所在直线为X轴，MN中垂线为Y轴，建立直角坐标系。

MN=2c PM+PN=2a

tan∠N=-2，∠N大于90°是钝角，先做PQ⊥MN

△MNP如图所示：

tan∠N=-2，则tan∠PNQ=2

设NQ=x，→PQ=2x,MQ=4x，MN=3x

PM=2√5x PN=√5x

S△MNP=0.5*MN*PQ=1

05*3x*2x=1

x=1/√3

2c=MN=3x=√3

c=√3/2

2a=PM+PN=3√5x=√15

a=√15/2

b^2=a^2-c^2=3

椭圆方程：x^2/（4/15）+y^2=1