Question

在等腰三角形ABC中，底边BC=1，底角平分线BD交AC于点D，求BD的取值范围

Answer 1

根据三角形内角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例
因为底角B的角平分线BD交AC于点D
所以CD/BC=AD/AB
设AB=AC=a,CD=x,则:
(a-x)/a=x
x=a/(a+1)
因为BC-CD<BD，所以1/(a+1)<BD
因为a>1/2，所以1/(a+1)>2/3

即BD>2/3
因为△ABC为等腰三角形，所以∠ABC=∠C<90°
当∠C达到最大时，即无限接近90°时，BD在△ABC中为最长边，∠CBD无限接近45°
若∠C能取到90°，则∠CBD=45°，则BD为根号2
但∠C不能取到90°，只能无限接近90°，所以BD只能无限接近根号2
所以2/3<BD<根号2

Answer 2

因为底角B的角平分线BD交AC于点D
所以CD/BC=AD/AB
设AB=AC=a,CD=x,则:
(a-x)/a=x
x=a/(a+1)
因为BC-CD<BD<BC+BD
所以1/(a+1)<BD<(2a+1)/(a+1)
由题得:a>0.5
所以1/(a+1)>2/3
(2a+1)/(a+1)<2(令a趋向于无穷大即可得极限2)
所以2/3<BD<2

Answer 3

BD最小向½BC长度趋近（想象顶角越来越大，角分线越来越短，都快要帖到BC上去了），
BD>½
BD最大向½AC长度趋近（想象顶角越来越小，角分线越来越长，都快帖到AC上去了），BD无最大值
所以，BD>½